多年前，美国一位数学家爱德华·索普，拿着粉丝资助的1万美金，来到赌城拉斯维加斯。索普先生出手不凡，屡战屡胜，不多久就引起赌场老板的“关注”。但这并没有影响事态的发展，索普先生愈战愈勇，1万美金很快翻了几番，几个赌场遭到不同程度的“血洗”。索普先生因此遭到赌场老板的封杀，以后要想过一把赌瘾，还要乔装打扮，潜入赌场。
为了不影响自己的“赌兴”，索普先生把目光转移到更大的赌场——华尔街。在这里，他把用在赌场上的理论发扬光大，创立了全新的量化投资策略，并成立了第一支量化对冲基金。在上个世纪70、80年代，索普的量化对冲基金连续11年获得了超过两位数的回报。索普先生也被称为“量化投资之父”。
索普先生的投资理论博大精深，非我吃瓜群众能用一言半语解释清楚的。今天我只拿当年索普先生去赌场时用的一个小工具——凯利公式为主题，谈谈赌博和投资。
讲凯利公式之前，咱们先热热身，算几个赌博的小例子。
例1：参与概率对自己有利的游戏
假设有人要和你赌博，猜从某个学校校门里出来的是男生还是女生，猜错输掉赌注，猜对赢得对方赌注。你如果知道这个学校的男女比例是2:1，那么这就是一个概率对你有利的游戏，你的策略应该是每次都猜男生。如果初始资金是100块钱，每次都下注资金的50%，咱们现在模拟一下各种情况下最终的资金情况。
从表中可以看出，每次都下注50%的资金，参与了3次，赢了2次，最终的资金是一样，和输赢出现的顺序无关。可以推测，如果参与了300次，赢了200次，无论这200次盈利是以怎样的顺序实现，最终的结果都是一样的。
例2：参与赔率对自己有利的游戏
如果有人和你玩猜硬币的游戏，你如果猜错了，会输掉赌注；如果猜对了，除了返还赌注外，还会再额外赢得2倍赌注（1赔3）。如果猜对和猜错的概率各是50%的话，这是一个赔率对你有利的游戏，你也应该持续参与。你有100元，每次投入资金的80%，现在也模拟一下各种情况下的最终资金：
咦？怎么回事？不管是先赢再输，还是先输再赢，结果都是钱越赌越少了！再这么持续下去，来个10来轮，就剩个零头了。说好的赔率对自己有利，要持续参与呢？
其实，在赌博中能否获胜，不仅跟概率和赔率有关，还跟每次下注的比例有关。下注比例不合适，即使获胜的概率大，赔率对自己有利，也不见得能获胜。凯利公式就是专门用来解决赌博时每次下注比例的工具。
凯利公式在赌博中的应用
凯利先生等了这么久，终于该到了闪亮登场的时候了。凯利是美国贝尔实验室的物理学家，他通过研究信息论，发现赌徒可以在知道胜率和赔率的情况下，确定最优的下注比例，从而使自己的长期复合收益最大化。凯利1956年发表了一篇论文，把这个方法发表了出来。
这里需要强调一点，凯利先生虽然发明了凯利公式，但他却对赌博兴趣不大。而数学家索普看到这个论文后欣喜若狂，他把这个公式发扬光大，在赌场和华尔街赚的盆满钵满，成就了自己量化投资之父的地位。
凯利公式有几种形式，其中的一种如下：
f=p/a-q/b
其中：f表示分配的资金比例
p表示获胜的概率
q表示失败的概率
a表示失败损失率，指失败后押注的资金从1变成1-a
b表示获胜增长率，指获胜后押注的资金从1变成1+b
如果f算出来是0，表示这是一个期望收益为0的游戏，最优决策是不参加。
如果f算出来是负数，表示这是一个期望收益为负的游戏，更是不能参加了。
如果f算出来是小于1的正数，就应该按照这个比例下注；如果是个大于1的数，最优的决策是需要借钱来参与这个游戏。
对于例1来说，我们把数字代入进去：
p=2/3，q=1/3，a=1，b=1，计算出f=1/3
我们把例1重算一下，利用凯利公式，每次投入资金的1/3，结果如下表所示
可以看出，每次下注1/3，比每次下注50%最终的收益要高。
对于例2来说，我们把数字代入进去：
p=0.5，q=0.5，a=1，b=2，计算出f=0.25
现在把例2重新计算一次，用的是凯利公式，每次押注25%的本金
可以看出，每次下注25%的资金，最终的收益不但远远高于下注80%，而且实现了正收益。看来，赌徒即使发现一个期望收益为正的游戏，如果不知道凯利公式而胡乱下注，最终也很有可能是亏损的。
大家如果感兴趣可以自己算一下，用任何其他只要不是凯利公式算出来的比例，最终的收益一定低于用凯利公式算出来的比例。
赌徒不可怕，就怕赌徒有文化啊。
凯利公式在投资中的应用
赌博和投资在很多方面都是有相通之处的。有时想一想，我们做的投资决策，如果成功的概率不是100%，何尝又不是一种赌博呢？
举例来说，某只在美国上市的中概股，原本价格是50，突然宣布要私有化退市了，私有化价格为110。消息公布后，股票价格涨到100。这时，你通过对大量的信息进行分析后，得出如下的判断：最终成功私有化退市的概率为80%，不成功的概率为20%。
那么问题来了：应该参与这次的私有化退市套利吗？如果参加，资金投入的比例应该是多少？
可以看出，如果私有化成功，获利会是10%；如果失败，亏损会是50%。这时用凯利公式代入各项数值进行计算：
p=0.8，q=0.2，a=0.5，b=0.1，算出f=-0.4
由于f是负数，所以我们不应该买入这样的股票，甚至应该做空这只股票。
但如果成功的概率是90%，失败的概率是10%的话。此时p=0.9，q=0.1，a=0.5，b=0.1，算出f=0.8
这时应该投入80%的资金参与私有化套利。（并不是全部资金的80%，而是计划参与私有化套利资金的80%）
看到这里，凯利公式就基本介绍完了。大家看完后千万不要太激动，认为自己学会了凯利公式就可以在投资中所向披靡了。投资的世界实在是太复杂，远不是一个凯利公式就能解决所有问题的。但是，通过凯利公式，我们还是能够得到一定的启发，那就是：
1. 只参与期望收益为正的游戏，期望收益为零或者为负的游戏坚决不碰；
2. 利用数学工具用量化的手段来帮助我们做投资，与凭感觉做投资相比，更具有优势；
凯利公式能否应用于交易中？
不过，要是这么简单的话，为什么股市汇市期市里有90%的人都在亏钱呢？问题在于，赌场中的每一局都是独立事件，其概率没有连续性，而金融市场却与纯赌博的系统有很大区别。市场的后一日的涨跌是有可能与前一日的涨跌相关，这也是趋势交易者的立点所在。换句话说，股票和期货市场的每次下注的结果是有连续性的，而不是纯随机的独立事件。实际市场是具有肥尾效应的，即从长期来看，小概率事件必然发生，而且在现实生活中，小概率事件发生的实际概率要远远的大于它的理论概率。从结果来看也就是更容易产生连续的亏损，一旦碰到这种肥尾，投资者将会承受极大的损失。
其次，赌场里的胜率和盈亏比都是基本固定的，因此每一次的p和b都接近真值。但是金融市场又是另一番说法。虽然我们可以通过历史数据回测计算平均胜率和盈亏比，但是这些数值只是一个统计量，我们所获得的也都是平均值。实际亏损很可能会超过平均值，这就导致了使用p和b的平均数去计算凯利公式的f值会偏大。譬如，你碰到了连续3次1.5倍平均值的亏损，那么你将会发生一次十分巨大的回撤，而凯利公式中的均值将这些偏大的亏损都给平均了。
因此，需要明确的是，凯利公式的首要目的不是提高资产增长率，而是控制极端风险。在解决实际应用问题上，凯利公式所针对的投注比例并不是相较于全资产而言，而是投资者可以承受损失的资产。也就是说，在运用凯利公式解决实际应用问题时，投资者可以根据自身交易系统所计算出的f值乘以心理承受损失比例去控制最大仓位。
反过来看，凯利公式也能用来检验交易系统能否被心理所承受。假设盈亏比设定为2:1，每次采用40%的投注比例，那么需要胜率达60%最适合。如果投资者的原有系统低于这个胜率，这就证明系统需要优化，否则将不得不承受连续亏损造成账户大幅回撤带来的心理压力。
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